Soient un triangle \(\triangle ABC\), \(D\) est un point sur le côté \([BA]\) tel que \(BD:DA=

Schéma
2\), \(E\) est un point du côté \([CB]\) tel que \(CE:EB=1:4\)
Les segments \(DC\) et \(AE\) se coupent en \(F\)
Déterminer \(CF:FD\)
(en utilisant des coordonnées)
1:

Définition du repère
On prend pour repère : $$A\binom00,\qquad B\binom10,\qquad C\binom01\quad\text{ et }\quad BC:x+y=1$$

Expression de \(D\) et \(E\) dans ce repère
Donc \(D\binom{2/3}0\) et \(E=\frac{4C+B}5=\binom{1/5}{4/5}\)
Justification : $$\overrightarrow{EC}=\frac{\overrightarrow{EB}}4\quad\text{ donc }\quad E-C=\frac B4-\frac E4\iff5E=4C+B$$

Équation des droites
Droites : $$\begin{align}(AE)&:\begin{cases} x=\frac t5\\ y=\frac{4t}{5}\end{cases}&&\begin{array}{}t=0\to A\\ t=1\to E\end{array}\\ (CF)&:\begin{array}{l}\text{ vecteur directeur }\overrightarrow{CD}\binom{2/3}{-1}\\ \text{ vecteur normal }\binom1{2/3}\\ \text{ équation : }x+\frac23y=C\end{array}\end{align}$$

Trouver la constante
La constante se calcule sur \(C\) (ou \(D\)) : $$x+\frac23y=\frac23\quad\text{ ou }\quad 3x+2y=2$$

Trouver \(F\) en combinant les deux équations
\(F\) est le point commun et vérifie donc les deux équations : $$\begin{align}\frac t5+\frac23\frac{4t}5=\frac23&\iff\frac{11t}{15}=\frac{10}{15}\\ &\iff t=\frac{10}{11}\end{align}$$ et donc \(F\binom{2/11}{8/11}\)

En déduire \(CF:FD\)

Et donc $$\frac{CF}{FD}=\frac{x_F-x_C}{x_D-x_F}=\frac{2/11}{\frac23-\frac2{11}}=\frac{3}{8}$$